🏎️ 高中 · 直线运动与牛顿定律（6 个公式）
匀变速直线运动三件套 + 动力学核心：F=ma、摩擦力与胡克定律。
📈 速度公式v = v₀ + at · 匀变速直线运动
运动学
公式与变量
v = v₀ + at
v₀初速度，单位 m/s
vt 时刻的瞬时速度
a加速度，单位 m/s²——速度变化的快慢
t从计时起点开始的时间，单位 s
💡 右侧 v-t 图像是一条倾斜直线：斜率 = 加速度 a。把 a 调为负值观察刹车：直线向下倾斜，速度减到 0 后小车保持静止（单向刹车模型）。
公式变形
v = v₀+at → 例：v₀=10 m/s，a=2 m/s²，t=3 s ⇒ v=16 m/s
t = (v−v₀)/a → 例：刹车 v₀=15 m/s，a=−3 m/s²，停到 v=0 ⇒ t=5 s
a = (v−v₀)/t → 例：5 s 内从 4 m/s 加到 14 m/s ⇒ a=2 m/s²
a 也是矢量：取正方向后，减速用负值表示。
⚠️ 刹车类问题先算「停下来的时间 t停=v₀/|a|」，问 10 s 内位移只能算到 t停 为止。
🛣️ 位移公式x = v₀t + ½at²
运动学
公式与变量
x = v₀t + 12at²
x位移（有方向），单位 m
v₀、a、t同速度公式
💡 小车驶过的路面刻度就是位移 x；右侧 x-t 图像是抛物线（开口方向由 a 决定）。注意「位移」与「路程」的区别。
公式变形
x = v₀t+½at² → 例：v₀=2，a=4，t=3 ⇒ x=6+18=24 m
已知 x 求 t 解一元二次方程：
½at²+v₀t−x=0 取正根（例：a=2，v₀=3，x=20 ⇒ 3t+t²=20 ⇒ t≈3.2 s）
v₀=0 时比例关系（重要结论！）：
x₁:x₂:x₃…=1:4:9 连续相等时间内 x=1:3:5…
推导动画 · 用 v-t 图像面积推出位移公式
第 1 步 · 画出 v-t 图像
匀变速运动的 v-t 图是直线：从 v₀ 出发，斜率为 a。
t 时刻速度：v = v₀ + at
第 2 步 · 微元思想：每小段时间都走一小步
把时间切成许多小段 Δt，每段位移 ≈ vᵢΔt——正好是一根根小矩形条。
x ≈ Σ vᵢ·Δt → 每根条的面积！
第 3 步 · 总位移 = 图线下梯形面积
所有矩形拼起来恰好填满直线下方的梯形。
x = 梯形面积 = (v₀ + v)t2
第 4 步 · 把梯形拆成矩形 + 三角形
下矩形宽 t 高 v₀，上直角三角底 t 高 at：
x = v₀t + 12(at)·t = v₀t + 12at² ✓
第 5 步 · 顺手带走第三公式
把 t=(v−v₀)/a 代入平均速度式消去 t：
x = (v₀+v)(v−v₀)/(2a) ⇒ v² − v₀² = 2ax ✓
🎯 速度—位移公式v² − v₀² = 2ax · 不含时间的捷径
运动学
公式与变量
v² − v₀² = 2ax
v、v₀末速度 / 初速度，单位 m/s
a、x加速度 m/s² 与位移 m（符号遵循同一正方向）
💡 题目不给时间也不求时间时用它最快。动画实时比较左右两边数值；若右边小于 −v₀²，说明车在到达 x 之前已刹停（显示提示）。
公式变形
v = √v₀²+2ax → 例：v₀=12，a=−3，x=24 ⇒ v=√(144−144)=0（恰好刹停）
x = (v²−v₀²)/(2a) → 例：100 km/h≈27.8 m/s，a=−5 ⇒ 刹车距离 x≈77 m
自由落体（v₀=0，a=g）：
v² = 2gh ⇒ v=√2gh （与质量无关！）
🧲 牛顿第二定律F合 = ma · 动力学的核心
动力学
公式与变量
F合 = ma
F合物体所受的合力，单位 N
m质量 kg——惯性大小的量度
a加速度 m/s²，方向与 F合 相同
💡 同样的拉力 F：质量小的 A 车加速明显更快——a ∝ 1/m；固定质量增大力，加速度成比例增大——a ∝ F。这就是控制变量实验的两个结论。
公式变形与应用
a = F合/m → 例：F=8N 拉 2kg 物体（光滑）⇒ a=4 m/s²
F合 = ma → 例：质量 1000kg 的车 5 s 内由 0 到 10 m/s：a=2，需 F=2000 N
① 定对象、画受力图 → ② 求合力 F合 → ③ 代入 F合=ma 求运动（或逆向）。含摩擦时：F合 = F − μmg。
⚠️ 单位制必须统一用国际单位制（SI），否则数值全错；每个力都要找施力物体。
🛷 滑动摩擦力f = μF_N · 阻碍相对滑动
动力学
公式与变量
f = μFN （水平面：FN=mg）
f滑动摩擦力 N，方向与相对滑动方向相反
μ动摩擦因数，无单位，由接触面材料/粗糙程度决定（μ<1 常见）
FN正压力（支持力）N——不一定等于重力！
💡 木块以相同初速在粗糙面上滑行直到停下。试着只改质量 m：停止距离完全不变！因为 a=μmg/m=μg 与质量无关——这是本动画最重要的彩蛋。
公式变形
f = μFN = μmg → 例：μ=0.3，m=2kg，f=0.3×2×9.8≈5.9 N
μ = f/FN → 匀速拉动时 f 等于拉力，即可反测 μ
静摩擦力被动力：0 < f静 ≤ 最大静摩擦，大小看外力；滑动摩擦力恒为 μFN。FN 不总等于 mg：斜面上 FN=mgcosθ，竖直按墙压物 FN=F压。
🌀 胡克定律F = kx · 弹簧的倔强
动力学
公式与变量
F = kx
F弹簧弹力 N（等于所挂钩码重力）
k劲度系数 N/m——弹簧「软硬」程度，由本身决定
x形变量（伸长或压缩量）m，不是弹簧总长！
💡 每挂一组钩码，右侧 F-x 图自动描一个点——所有点连成过原点的直线，斜率就是 k。调大 k 再挂钩码：同样的力伸长更短。
公式变形
F = kx → 例：k=100 N/m，伸长 5 cm ⇒ F=5 N（记得换算米！）
k = F/x → 两弹簧串联 k变小、并联 k变大（等效劲度）
F-x 图：过原点直线，斜率=k；面积=x轴下方三角形 ½kx²＝储存的弹性势能（高中选修结论）。
⚠️ 适用条件：弹性限度内。超过后弹簧永久变形，胡克定律失效。